Правильно раздельное написание: верить на слово.
Можно написать: желает не верить, не желает верить.
Правильно: верить во что-то.
Следует поставить двоеточие: Я начинаю верить: вернется весна...
Запятая нужна: Она не знала, верить ему или нет.
Проверяя ударение, верить нужно орфоэпическим словарям. Они рекомендуют говорить сортамент.
Это сложноподчиненное предложение. Главное предложение: я не знаю. Придаточное предложение: во что верить. Между ними ставится запятая: Я не знаю, во что верить.
Различия существуют. Вы можете выяснить это при помощи электронных словарей в рубрике "Искать на Грамоте" на нашем портале.